Nível de dificuldade: 1
Um número diz-se perfeito se é igual à soma dos seus divisores próprios (os seus divisores exceptuando ele próprio).
6 é um número perfeito pois a soma dos seus divisores próprios, 1, 2 e 3, é igual a 6,
1 + 2+ 3 = 6
Entre 20 e 30 existe outro número perfeito. Qual é ele?
Resposta: A obra “Elementos”, escrita por Euclides de Alexandria no período entre 320 a.c. e 260 a.c., constitui um dos mais influentes trabalhos na história da ciência desde a Antiguidade, sendo, a seguir à Bíblia, uma das obras mais reproduzidas e estudadas no mundo ocidental. Os treze volumes que constituem os “Elementos” são uma compilação de resultados de autoria diversa, alguns já conhecidos desde há muito tempo.
A última proposição do nono livro dos “Elementos” de Euclides afirma que se um número 2n-1 é um número primo então 2n-1 x (2n-1) é um número perfeito.
Para n=2 , 2n-1 é 22-1=4-1=3 , que é um número primo.
Então, de acordo com a proposição de Euclides, para n=2 , 2n-1 x (2n-1) , é um número perfeito, ou seja,
22-1 x (22-1) = 21 x (22-1) = 2 x (4-1) = 2 x 3 = 6 é um número perfeito.
Para n = 3, 2n-1 é 23-1 = 8 – 1 = 7 , que é um número primo.
Então, de acordo com a proposição de Euclides, para n=3 , 2n-1 x (2n-1) é um número perfeito, ou seja,
23-1 x (23-1) = 22 x (23-1) = 4 x (8-1) = 28 é um número perfeito.
Os divisores próprios de 28 são 1, 2, 4, 7, 14. O número 28 é um número perfeito pois a soma dos seus divisores próprios é igual a 28.
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