29 Março 2016      12:01

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O ERRO DE PITÁGORAS

"O MUNDO DOS NÚMEROS"

Para Pitágoras, e seus seguidores, os números eram a essência de todas as coisas. Para eles, tudo era mensurável a partir da unidade, como um múltiplo ou uma parte dessa unidade. Assim, para os pitagóricos, o Universo dos números resumia-se a números racionais (números inteiros e as fracções que se podem formar com estes números inteiros), para eles, sinónimo de perfeição.

Um dos mais importantes resultados do intenso estudo que os pitagóricos dedicavam aos números e às suas propriedades foi o Teorema de Pitágoras. Conta a lenda que, como forma de agradecer aos deuses tão importante descoberta, Pitágoras terá ordenado uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois. Mas este teorema, que se tornou o símbolo máximo da escola pitagórica, foi também o princípio do fim da sua doutrina.

Segundo reza a história, Hipaso de Metaponto, um dos membros da escola pitagórica, aplicou o teorema para determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado 1, tendo descoberto que a medida dessa diagonal não podia ser representada por um número racional. Em vez de lhe propiciar reconhecimento e fama, esta descoberta ditou a sentença de morte de Hipaso. Por ter demonstrado que Pitágoras estava errado e o ter revelado fora da escola, quebrando o voto de silêncio a que os pitagóricos estavam obrigados, Hipaso de Metaponto foi assassinado. Mas já nada havia a fazer. Tudo aquilo em que os pitagóricos acreditavam foi posto em causa.

Para melhor compreendermos o significado da descoberta de Hipaso de Metaponto, vejamos a prova da irracionalidade do número por ele encontrado.

Para demonstrar a irracionalidade vamos recorrer a um método, muito utilizado em demonstrações matemáticas, que se designa por “ redução ao absurdo” e que consiste em supor que determinada hipótese se verifica e, através de raciocínios lógicos, chegar a uma contradição, mostrando que a hipótese original é falsa.

Num quadrado de lado 1, o comprimento da diagonal é a medida da hipotenusa[1] de um triângulo rectângulo em que os catetos têm medida 1. Este número, d, tal que,

12+12=d2

é representado por √2

Vamos então assumir a hipótese de que √2 é um número racional.

Para que √2 seja um número racional é necessário que este número possa ser representado na forma de quociente de números inteiros, ou seja, √2 tem que ser igual a uma fracção irredutível (que não se pode simplificar), 

Elevando ao quadrado ambos os membros desta equação, obtemos

Mas a igualdade 2b2=a2 diz-nos que a2 é um número par (pois é o dobro de outro número, neste caso o dobro de b2). Como sabemos que elevando ao quadrado números pares obtemos números pares e elevando ao quadrado números impares obtemos números impares (por exemplo: 22=4,  42=16, 32=9, 72=49), descobrimos que o número a é um número par, pois a2 é par.

Como vimos anteriormente, um número par é o dobro de outro número, então, como a é par, ele é o dobro de um outro número, que designaremos por c,

a=2c

Substituindo a por 2c, na igualdade 2b2=a2, obtemos

2b2=(2c)2

então 2b2 = 4c2 ⇔ b2=2c2

Então b2 é um número par, pois é o dobro de c2, e, também b é par (à semelhança do que vimos para a ). Assim, como a e b são números pares, ambos são divisíveis por 2 e, portanto a fracção    não é uma fracção irredutível, como tínhamos suposto à partida, e portanto √2 é um número irracional ao contrário do que tínhamos assumido na hipótese que colocámos.




[1] Ver o artigo, de Agosto de 2015, “Não são só números”.

 

 

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