A crença dos pitagóricos de que tudo é constituído por números, conduzi-os à categorização dos números de acordo com diversas características. A principal abordagem dos pitagóricos para a organização dos números consistia em considerar primeiro um arranjo geométrico e depois o tamanho. A organização dos números, de acordo com essa regra, origina sequências de “números figurados”.
Os números figurados originados pelo arranjo geométrico mais básico correspondem à organização de acordo com a menor figura geométrica, no sentido tradicional, que é o triângulo. Observando a representação dos quatro primeiros números da sequência dos números triangulares, verifica-se que, de cima para baixo, cada linha dos números triangulares tem um ponto a mais que a anterior.
Visto que o primeiro dos números triangulares é 1, o segundo é 3 (3 = 1+2), o terceiro é 6 (6= 1+2+3) e o quarto é 10 (10=1+2+3+4), como será possível encontrar o 13º número triangular, sem proceder da mesma forma que usámos para obter os 4 primeiros?
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Solução: Como se conclui da determinação dos 4 primeiros números triangulares, o n-ésimo número triangular é obtido pela soma nos n primeiros números naturais. Como vimos em A Lenda de Gauss, a soma dos n primeiros números inteiros (o caso mais simples de soma dos termos de uma progressão aritmética) é obtida pela expressão n x (n+1) : 2 .
Assim, como o 13º número triangular corresponde à soma dos 13 primeiros números inteiros, o 13º número triangular é 91 = 13 x (13 + 1) : 2.
