Parcelas invisíveis

Desafio nº 14 Nível de dificuldade: 1

O quebra-cabeças matemático aqui proposto é inspirado num problema que se tornou viral na internet e que era apresentado como uma questão bónus de um teste de matemática, para alunos do ensino básico de Singapura. Por esse mundo fora, foram muitos os que se dedicaram a tentar resolver o problema, mas sem sucesso. Na realidade, o enunciado difundido havia sido adulterado e, tal como se encontrava formulado, era irresolúvel. A formulação correcta desse problema consistia no desafio “Petite circle sums” proposto por Gordon Burgin.

Quebra-cabeças

Em cada um dos quatro sectores do quadrado maior, é apresentada a soma dos números que se encontram nos quadrados localizados nos cantos desse sector. As somas têm uma parcela em comum, o 5, apresentada no quadrado central, e duas parcelas invisíveis, localizadas nos quadrados vazios. As parcelas das somas apresentadas são números de um algarismo, todos distintos. Quais são?

Solução:

Designando por A, B, C e D as parcelas invisíveis,

os valores apresentados indicam que:

A + B + 5 = 18 , ou seja, A + B = 13

B + C + 5 = 15 , ou seja, B + C = 10

C + D + 5 = 17 , ou seja, C + D = 12

A + D + 5 = 20 , ou seja, A + D = 15

Não fora o facto de termos imposto as condições de os valores de A, B, C e D serem números de um algarismo e de nenhum número poder ser repetido, o sistema constituído pelas equações A + B = 13, B + C = 10, C + D = 12 e A + D = 15 teria infinitas soluções no conjunto dos números reais.

Para facilitar a tarefa de procura das parcelas possíveis para cada uma destas somas, vamos recorrer a uma tabela de somas

Para a soma 13, os valores possíveis para o par (A, B) são

(4 ; 9), (5 ; 8), (6 ; 7), (9 ; 4), (8 , 5) e (7 ; 6)

Para a soma 10, os valores possíveis para o par (B, C) são

(4 ; 6), (3 ; 7), (2 ; 8), (1 ; 9), (6 ; 4), (7 , 3), (8 ; 2), e (9 ; 1)

Para a soma 12, os valores possíveis para o par (C, D) são

(3 ; 9), (4 ; 8), (5 ; 7), (7 , 5), (8 ; 4), e (9 ; 3)

Para a soma 15, os valores possíveis para o par (A, D) são

(6 ; 9), (7 ; 8), (8 ; 7), e (9 ; 6)

Como as parcelas, em cada soma, têm que ser todas diferentes, os pares que incluem o número 5 não podem ser considerados, pois este é o número central que é parcela em todas as somas. O par (6,6) também não está nas condições do enunciado.

Por tentativas, partindo dos possíveis pares de números para A e B, encontraremos, em cada caso, os valores de C e D que obedecem às somas apresentadas.

• A = 4 e B = 9

Consideremos que o valor de A é 4 e que B=9 o valor de C teria que ser 1, para que a soma B+C seja 10. Com C=1, para que C+D= 12, então D= 11.

A = 4 → B = 9 → C = 1 →D = 11

Esta não poderá ser a solução pois D=11 vai contra as condições do enunciado que exigem que os números tenham apenas um algarismo.

• A = 6 e B = 7

Analogamente ao raciocínio anterior, A = 6 → B = 7 → C = 3 →D = 9

Estes valores de A, B, C e D verificam todas as condições do enunciado, mas será esta solução única?

• A = 9 e B = 4

A = 9 → B = 4 → C = 6 →D = 6

Esta não poderá ser a solução pois C = D, o que vai contra as condições do enunciado que exigem que todas as parcelas sejam distintas.

• A = 7 e B = 6

A = 7 → B = 6 → C = 4 →D = 8

Também para A = 7 e B = 6 todas as condições do enunciado são verificadas,

Existem, portanto, duas soluções:

A = 6 , B = 7 , C = 3 e D = 9

e

A = 7 ,  B = 6 , C = 4 e D = 8

Outra forma de resolver o sistema de equações seria escrevendo todas as equações que o compõem em ordem a uma determinada incógnita, digamos K, onde K = 15 - A, ficando o sistema na forma

A = 15 – K

B = K - 2

C = 12 – K

D = K

Para K = 8 e K = 9, as incógnitas A, B, C e D estão nas condições do enunciado do quebra-cabeças, conduzindo às soluções que indicámos acima.

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