13 Fevereiro 2022      00:34

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Matemática e favos de mel

A conexão entre a Natureza e a Matemática evidencia-se das mais diversas formas nas plantas e nos animais, manifestando-se na adopção de padrões, formas e comportamentos.

De entre as muitas manifestações matemáticas presentes na natureza, que têm intrigado o Homem desde há muitos séculos, surge a forma hexagonal dos alvéolos dos favos de mel.

O matemático grego Pappus de Alexandria (290-350 d.C) foi um dos primeiros a tentar explicar matematicamente a relevância da forma hexagonal dos alvéolos dos favos de mel. Interessado em problemas isoperimétricos, nos quais buscava entre todas as figuras planas com o mesmo perímetro a que tem a maior área, Pappus levantou a hipótese de as abelhas usarem a forma hexagonal nos favos de mel por uma questão de eficiência.

Pappus afirmou que “Deus deu aos seres humanos a melhor e mais perfeita noção de sabedoria em geral e de ciência matemática em particular, mas uma parte ele atribuiu a alguns dos animais irracionais também”. Entre os animais irracionais a que Pappus se referia estavam, obviamente, as abelhas a quem ele atribuiu uma “certa intuição geométrica” que lhes permitia construir os favos com base em “figuras contiguas umas às outras… de forma que nenhum corpo estranho pudesse entrar e manchar a pureza dos seus produtos”.

Crente de que “as abelhas não teriam figuras que não fossem regulares”, Pappus afirmou que a escolha das abelhas para a construção dos favos de mel teria que recair em polígonos regulares, e que as opções disponíveis seriam o triângulo, o quadrado e o hexágono, uma vez que apenas estes três polígonos regulares permitem, por si mesmos, “preencher completamente o espaço em torno do mesmo ponto”, ou seja, são os únicos polígonos regulares que permitem a pavimentação do plano com figuras de um só tipo.

Como prova da intuição geométrica das abelhas, Pappus afirmou que as abelhas sabem que o hexágono tem área maior do que o quadrado ou o triângulo com o mesmo perímetro, portanto sabem que alvéolos hexagonais permitirão armazenar mais mel com o mesmo gasto de cera na construção desses alvéolos. A generalização desta consideração de Pappus, conhecida como “Conjectura do favo de mel”, afirma que de entre todas as maneiras de dividir o plano em regiões com a mesma área, a pavimentação hexagonal é aquela que minimiza o perímetro. Esta conjectura só foi demostrada em 1999, por Thomas C. Hales.

Não havendo dúvidas de que o hexágono possui a maior relação área/perímetro, a capacidade das abelhas enquanto geómetras é ainda questão de debate.

Sabendo-se que os alvéolos são circulares aquando da sua construção, formulou-se a hipótese de a transição para a forma hexagonal poder ser consequência de forças físicas, e em nada estar relacionada com o processo que as abelhas usam para a construção desses alvéolos. Contudo, estudos recentes questionam a possibilidade de as forças físicas por si só explicarem o fenómeno de “deformação” dos círculos de cera em hexágonos, deixando em aberto outras explicações para a maravilha matemática dos favos de mel.

 

Bibliografia:

Grabiner, J. (2021) It’s All for the Best”: Optimization in the History of Science. Journal of Humanistic Mathematics, 11 (1). pp. 54-80.

Nazzi, F. (2016) The hexagonal shape of the honeycomb cells depends on the construction behavior of bees. Sci Rep, 6, 28341.

Rafael, D. e Sallun, E. (2015) Oficina 3: As abelhas conhecem Geometria? Anais da mostra do CAEM 2015: 30 anos de formação continuada de professores.

Silva, R. et al. (2013) Explorando o formato hexagonal dos favos de mel das abelhas na sala de aula de Matemática. Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática.

 

Imagem de clarin.com