24 Julho 2019      13:06

Está aqui

Duas sombras e uma ideia

Tales foi um filósofo, político, comerciante, matemático e astrónomo grego, nascido na mais importante cidade da Jónia, Mileto. Não havendo consenso relativamente ao período exacto em que Tales viveu, estima-se que terá sido entre 624 a.C. e 547 a.C., tendo como referência um marco da sua cronologia, a previsão que Tales fez do eclipse solar de 28 de Maio de 585 a.C..

Da vida de Tales pouco se sabe, mas a sua relevância para a história da Humanidade está reconhecida com a sua inclusão no primeiro lugar da lista dos sete sábios da Grécia. Aristóteles apelidou-o de pai da Filosofia, tendo sido Tales o autor da máxima “Conhece-te a ti mesmo” e defensor de que a água é o princípio de todas as coisas. Dos relatos de Platão e Aristóteles, ressalta a natureza especulativa do pensamento de Tales e o aspecto prático dessa especulação, como “filósofo da natureza”, destacando-se o interesse pelo estudo da Astronomia e primeira tentativa de explicação física do Universo. Tales defendia também que tal como os homens estão sujeitos a leis, também a Natureza o está, e que as leis (matemáticas) que regem a Natureza devem ser provadas, recorrendo a raciocínio lógico.

Na busca pelo conhecimento, Tales viajou para o Egipto onde recebeu a educação dos sacerdotes egípcios. A Tales é atribuída a elaboração de uma teoria para explicar as cheias do Nilo e a resolução de variados problemas geométricos.

Conta a lenda, ou melhor, uma das inúmeras versões da lenda, que, no Egipto, Tales terá estado em risco de ser preso, por se suspeitar que estaria em posse de informação sagrada sobre a altura das pirâmides. Desafiado pelos sacerdotes a explicar como tinha obtido essa informação, Tales disse-lhes que tinha feito os cálculos com o auxílio de uma pequena estaca.

O Teorema de Tales

Um dos mais importantes teoremas da Geometria, o Teorema Fundamental da Proporcionalidade (TFP), afirma que se uma recta paralela1 a um dos lados de um triângulo intersecta os outros dois lados então divide-os na mesma razão.

Uma das descobertas de Tales, na área da Geometria, conhecida hoje em dia como Teorema de Tales, constitui uma consequência do TFP e afirma que se duas rectas são secantes a um conjunto de rectas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos de uma delas é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes da outra.

 

 

Aplicando o Teorema de Tales à figura anterior, podemos afirmar que a razão entre o comprimento de [AB]  e o comprimento de [AC] é igual à razão entre o comprimento de [AD] e o comprimento de [AE] e também igual à razão entre o comprimento de [BD] e de [CE], ou seja, a razão entre os pares de segmentos de recta correspondentes é sempre igual:

 

Como mediu Tales a altura da pirâmide?

Para medir a altura da pirâmide, Tales cravou uma estaca de madeira, na vertical, de forma a que o Sol incidisse na estaca. Considerando que existe uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sua sombra e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo instante, a razão entre o comprimento da sombra da estaca e altura da estaca seria igual à razão entre a sombra da pirâmide e a sua altura, em determinado instante.

Para simplificar o processo, Tales esperou pelo preciso momento em que a sombra da estaca tinha a mesma medida que a estaca e mediu a sombra que a pirâmide projectava no chão, ou seja, usou um caso particular do teorema do TFP (ou do teorema de Tales), em que a razão entre segmentos é igual a 1.

 

 

Quando a sombra da estaca, , tem a mesma medida que a estaca,  , também a sombra da pirâmide, , será igual à altura da pirâmide, , isto é,

 

No caso da estaca, a sombra fica visível na sua totalidade, mas para a pirâmide uma parte da sombra é projectada no chão e a outra parte está oculta pela base da pirâmide. Assim, uma parte do comprimento do segmento [CB], correspondente a metade da largura da base da pirâmide, está oculto. Para determinar a altura da pirâmide, Tales teve que adicionar a medida de metade da base da pirâmide ao comprimento da sombra observada.

A explicação anterior corresponde ao caso mais simples, mas, na realidade, não era necessário esperar pelo momento em que a sombra da estaca tivesse a mesma medida da estaca. A proporcionalidade expressa pela igualdade 

que não é mais do que uma regra de três simples, permitiria determinar a altura da pirâmide, , com base nas medições, feitas num qualquer instante, da sombra da pirâmide (não esquecendo a parte da sombra “escondida” pela pirâmide) , , da altura da estaca,, e do comprimento da sombra da estaca,. A altura da pirâmide seria,

 

___________________________________________________

1 Duas rectas (distintas) são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou seja, a distância entre elas é sempre a mesma. Portanto, não possuem pontos em comum.

2 Duas rectas (distintas) são secantes, ou concorrentes, se se intersectam num ponto.

3 A razão entre dois números é o resultado da divisão de um deles pelo outro.

 

Imagem de capa de filosofianaescola.com

 

 

CAPTCHA
Image CAPTCHA
Escreva o caracteres que vê na imagem do lado direito.