NÃO SÃO SÓ NÚMEROS!

É preciso pensar de forma criativa e aplicada.

O desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é actualmente um dos mais importantes objectivos do ensino da matemática contudo, devido a diversos factores, continua a ser sobrevalorizado o treino que visa o domínio de procedimentos e algoritmos em detrimento de actividades que envolvam o raciocínio e a resolução de problemas não rotineiros.

A ineficiência da aprendizagem centrada em procedimentos e algoritmos tem sido comprovada por diversos estudos, revelando que, ainda que haja domínio da componente de cálculo, os alunos revelam grandes dificuldades na resolução de actividades problemáticas cujo enunciado não forneça pistas sobre as ferramentas matemáticas que permitem a sua resolução.

Num dos estudos que vêm sendo realizados com o objectivo de avaliar o desempenho dos alunos em Matemática, o TIMSS - Trends in International Mathematics and Science Study, realizado em 1994, com alunos de mais de 40 países, foi colocado o “ Problema da corda”  que se revelou um verdadeiro quebra cabeças para os alunos que realizaram a prova, tendo-se verificado uma percentagem de respostas correctas de apenas 10%.

Problema da corda

Uma corda está enrolada simetricamente em volta de um tubo cilíndrico. O tubo tem 4 cm de perímetro e 12 cm de comprimento e a corda dá a volta ao tubo (exactamente) quatro vezes.

Qual o comprimento da corda?

Ao contrário do que parece à primeira vista, este problema tem uma resolução muito simples. Para tal é necessário apenas pensar de forma criativa, aplicando o teorema mais conhecido da Matemática.

O Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é, sem dúvida, o mais conhecido teorema da Matemática. Apesar de ter assumido este nome após ter sido estudado pelo matemático grego Pitágoras de Samos (572- 497 a.C.), existem provas de que este teorema já era conhecido, por outras civilizações 1000 anos antes de Pitágoras, pensando-se que Sumérios, Chineses e Babilónios teriam já aplicado este teorema, desconhecendo, no entanto, que se aplicava a qualquer triângulo rectângulo.

O famoso teorema de Pitágoras define a relação entre os três lados de um triângulo rectângulo, isto é, de um triângulo que tem um ângulo recto (ângulo de 90 graus). O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa (lado maior) é igual à soma dos quadrados dos catetos (lados menores).

Simbolicamente, representando por a e b as medidas dos catetos e c a medida da hipotenusa

Desenhando 3 quadrados cujos lados correspondem aos lados do triângulo acima, o teorema de Pitágoras assegura que a área do quadrado maior (azul) é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores (verde), isto é, que c² = a² + b² .

A demonstração de que a relação c² = a² + b² se verifica para qualquer triângulo rectângulo revelou-se de grande importância devido às suas inúmeras aplicações, mas foi também causadora de uma enorme revolução. Até então, a designação “número” referia-se apenas a número racionais (inteiros ou razões de inteiros) mas o Teorema de Pitágoras veio demonstrar a existência de números irracionais, que não eram nem inteiros nem razões de inteiros. Esta descoberta é atribuída a um aluno de Pitágoras que tentava determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado 1.

Todos os ternos pitagóricos (ternos de números que verificam a igualdade c² = a² + b² ) correspondem aos lados de um triângulo rectângulo. Num quadrado de lado 1, o comprimento da diagonal é a medida da hipotenusa de um triângulo rectângulo em que os catetos têm medida 1.

Então d²= 1²+1² , ou seja, d² = 2. Mas não há nenhum número racional que elevado ao quadrado seja igual a 2. O número d é portanto um número irracional, que representamos por  raíz quadrada de 2 e cujo valor aproximado é 1,414.

A resolução do problema da corda

Representando o tubo como uma superfície plana, obtemos um rectângulo com 4 cm (o perímetro do tubo) por 12 cm (comprimento do tubo) e em que os segmentos diagonais representam a posição da corda.

Como a corda está enrolada, de forma simétrica, quatro vezes em volta do tubo, o rectângulo pode ser dividido em 4 rectângulos iguais, com 4 cm por 3 cm.

Usando o teorema de Pitágoras determina-se o comprimento do segmento diagonal.

d²=4²+3²

d²=16+9

d²=25

O número que elevado ao quadrado dá 25 é o número 5.

Descoberto que cada um dos quatro segmentos da corda têm 5 cm, determina-se o comprimento total da corda 4 x 5cm= 20cm.