1 Novembro 2015      11:56

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MATEMÁTICA NO TEMPO DOS FARAÓS

Os primeiros registos conhecidos do uso da Matemática para além da simples contagem tiveram origem no antigo Egipto e na Babilónia.

Grande parte do conhecimento que temos hoje sobre a Matemática da civilização egípcia baseia-se no Papiro de Rhind, um documento encontrado durante escavações junto do túmulo de Ramsés II, no Egipto, adquirido pelo antiquário escocês Alexander Henry Rhind, em 1858. O papiro de Rhind também conhecido como papiro de Ahmes, escriba que o copiou em meados de 1650 a.C. a partir de um documento escrito no sec. XIX a.C., aborda aritmética, fracções, cálculo de áreas, cálculo de volumes, progressões, proporcionalidade, regra de três simples, equações lineares e trigonometria básica, como forma de resolver 85 problemas, que consistiam, por exemplo, na repartição proporcional de pães por homens, no cálculo da proporção de gado devido a imposto ou o cálculo do volume de contentores cilíndricos de cereais.

O algoritmo da multiplicação, que “mecanicamente” utilizamos hoje em dia, é o resultado de uma evolução histórica ao longo de muitos séculos em que foram usadas diversas técnicas para multiplicar.

Os antigos egípcios tratavam a operacionalização de números de forma bastante diferente dos métodos usados actualmente e para o algoritmo da multiplicação usavam apenas adições.

Na realidade, a multiplicação (de números naturais) não é mais do que uma adição de parcelas iguais. Quando, por exemplo, se multiplica 7 por 12, o que procuramos é o resultado da soma de 7 parcelas iguais a 12, ou seja, sete vezes o número doze:

7 x 12 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12

A validade deste método não é questionável, mas a sua utilização prática é bastante trabalhosa quando os números envolvidos na multiplicação são elevados.

Para contornar esta dificuldade usamos um misto de memorização e mecanização, com a famosa tabuada e o algoritmo da multiplicação que aprendemos nos primeiros anos de escolaridade.

No antigo Egipto o algoritmo da multiplicação que hoje usamos não era ainda conhecido, mas mesmo que o fosse os egípcios não conseguiriam aplicá-lo pois, ao contrário do sistema decimal que usamos actualmente, o sistema de numeração egípcio não era posicional. Apesar de a maioria de nós não estar familiarizado com o sistema de numeração egípcio, poderemos compreender as dificuldades da sua utilização se pensarmos num sistema nosso conhecido com algumas semelhanças com o egípcio – a numeração romana.

Perante a necessidade da utilização da multiplicação e das fracções na sua vida, os antigos egípcios desenvolveram um método de multiplicar que permitia superar as dificuldades do seu sistema numérico- a multiplicação por duplicações sucessivas.

O processo de duplicações sucessivas inicia-se colocando um dos factores da multiplicação numa coluna e o número 1 noutra coluna. Em seguida duplicam-se sucessivamente os valores dessas duas colunas até que na coluna que foi iniciada pelo 1 apareça um número superior ao factor da multiplicação que ainda não foi considerado.

Para efectuar a multiplicação é necessário encontrar os números, da coluna que foi iniciada pelo 1, cuja soma é igual ao multiplicador. O resultado da multiplicação será a adição dos números da outra coluna que pertencem às linhas dos números encontrados.

Vejamos um exemplo.

Para efectuar 5 x 49, colocamos o número 1 na coluna A e o 49 na coluna B. Vamos agora duplicar sucessivamente os valores que se vão obtendo até que na coluna A apareça um número superior a 5:

1ª duplicação

Coluna A

 

Coluna B

1

 

49

2 ( 1 + 1 )

 

98 ( 49 + 49)

 

 

 

 

2ª duplicação

Coluna A

 

Coluna B

1

 

49

2 (1 + 1)

 

98   (49 + 49)

4 (2 + 2)

 

196 (98 + 98)

 

 

 

 

 

3ª duplicação

Coluna A

 

Coluna B

1

 

49

2 (1 + 1)

 

98   (49 + 49)

4 (2 + 2)

 

196 (98 + 98)

8 (4 + 4)

 

 

 

 

O 8 que aparece na coluna A é maior que 5. Está na hora de parar!

Repare-se que na coluna B apareceram os resultados de 1 x 49, 2 x 49 e 4 x 49.

Queremos calcular 5 x 49 contudo o 5 não aparece na sequência de números da coluna A. Como todos os números naturais que não fazem parte desta sequência podem sempre ser escritos como soma de alguns dos números que fazem parte dela, para calcular 5 x 49 temos de encontrar quais os números da coluna A cuja soma é igual a 5. Seleccionamos então o 1 e o 4  pois  5 = 1 + 4 .

Coluna A

 

Coluna B

1

 

49

2

 

98 

4

 

196

8

 

 

 

 

 

Para encontrar os resultados da multiplicação 5 x 49, basta então somar os valores correspondentes na outra coluna.

 
 

Coluna A

 

Coluna B

1

---------------

49

2

 

98 

4

---------------

196

8

 

 

 

 

49 + 196 =  245  portanto 5 x 49 = 245.