17 Dezembro 2015      10:41

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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS – CAPICUAS

A palavra capicua (de origem catalã, onde “cap i cua” significa cabeça e cauda) representa “um conjunto de algarismos ou de letras cuja leitura é a mesma quando feita nos dois sentidos”. Pelo que, palavras como ala, ama ou ovo e números como 77, 121 ou 98355389 são capicuas.

Usualmente a palavra capicua é associada a sequências de algarismos, e para palavras (sequências de letras), que são iguais quando lidas da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, o mais usual é a designação “palíndromo”. Contudo, quer para números, quer para letras, ambas as designações, capicua ou palíndromo, são admissíveis.

Algumas pessoas acreditam que números capicua dão sorte. Para a maioria, estes números são apenas curiosos. Para os matemáticos os números capicua são um desafio e deram origem a uma conjectura matemática que tem sido alvo da atenção de alguns.

Foi em 1938 que D. H. Lehmer (1905-1991), num artigo publicado na revista belga Sphinx, formulou a conjectura que afirma que “escolhendo qualquer número, se o adicionarmos ao número que obtemos escrevendo os seus algarismos por ordem inversa e, ao resultado dessa operação aplicarmos, sucessivamente, esse procedimento, daremos origem a um número capicua.”

É fácil verificar que funciona, por exemplo, com o número 68. Vejamos:

68+86= 154

154+451=605

605+506=1111

Partindo de 68, em 3 passos, gerámos a capicua 1111.

Também funciona com o número 49. Vejamos:

49+94=143

143+341=484

Partindo de 49 em apenas dois passos, gerámos a capicua 484.

Para os números 49 e 68 funcionou, e, de facto, funciona para todos os números de dois algarismos! Começando o processo com um número de dois algarismos (diferentes) cuja soma for menor do que 10 ou então 11 obtém-se uma capicua aplicando o processo uma única vez. Se a soma for 10, 12 ou 13 é necessário aplicá-lo duas vezes, como aconteceu com o número 49. Se a soma for 14 é necessário aplicá-lo 3 vezes, como aconteceu com o número 68. Se a soma for 15, o número de aplicações é 4 e se a soma for 16 é necessário repetir o processo 6 vezes.

E se a soma for 17?

Só dois números de dois algarismos têm 17 como soma dos seus algarismos: o 89 e o 98. Com eles é necessário aplicar 24 vezes o processo de iteração para se chegar a uma capicua, que é o 8813200023188.

Mas será que funciona com todos os números?

Investigações feitas por vários matemáticos parecem indicar, embora não de forma conclusiva, que a conjectura é falsa.

Partindo, por exemplo, de 196, não foi ainda possível encontrar a capicua correspondente, mesmo após milhares de iterações, no entanto, para outros números bem maiores que 196 a conjectura funciona. O recorde estabelecido a 28 de Março de 2007, pertence ao número 10200000000065287900 que gera uma capicua após 257 iterações.

Entre os primeiros 100000 números, existem 5996, que, aparentemente, não permitem gerar uma capicua. Os primeiros 10 da lista, para os quais, por enquanto, ainda não foi possível confirmar a conjectura são: 196, 887, 1675, 7436, 13783, 52514, 94039, 187088, 1067869, 10755470 …

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