15 Julho 2017      11:04

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A MAGIA DO 1089

"O MUNDO DOS NÚMEROS"

A magia do número 1089

As actividades de matemática recreativa, ou melhor, os jogos matemáticos, os puzzles matemáticos e os truques de magia matemáticos, permitem, de forma desafiante, explorar os mais diversos conteúdos matemáticos, em diferentes níveis de complexidade, promovendo competências como o raciocínio e o cálculo mental.

Quando se fala de matemática recreativa é obrigatório referir o jornalista americano Martin Gardner, que se notabilizou como divulgador da Matemática, através da sua coluna mensal de jogos matemáticos na revista Scientific American. Ambicionando mostrar sempre o que de mais belo e desafiante a Matemática tem para dar, Gardner recorreu, muitas vezes, à Matemática para celebrar outra das suas paixões, a magia, tendo publicado diversos truques matemáticos, tanto na coluna da Scientific American como nos inúmeros livros que publicou. Num desses livros, Mathematics, Magic and Mystery, cuja primeira edição é de 1956, Gardner apresenta um dos mais simples, populares e famosos truques de magia matemática, o truque do 1089. Este truque de magia matemática que, para além do livro de Gardner, surge em muitos outros livros de desafios matemáticos, tem vindo a ser um dos preferidos dos internautas nas suas incursões pela matemática recreativa.

 

O truque

  • Escolha um número qualquer de três algarismos, diferentes entre si.
  • Deve agora originar um novo número, escrevendo o número, que escolheu no primeiro passo, pela ordem inversa dos seus algarismos.
  • Com os dois números que obteve nos passos anteriores, deve agora calcular a diferença entre o maior e o menor.
  • Com o número obtido no resultado da subtracção anterior, deve agora originar um novo número, escrevendo os seus algarismos pela ordem inversa.
  • Finalmente os dois números, obtidos nos dois últimos passos, devem ser adicionados.

 

E o resultado foi … 1089! 

 

O truque passo-a-passo

Escolha um número qualquer de três algarismos, diferentes entre si.

Para exemplificar usarei o 257

Origine um novo número, escrevendo os algarismos do número anterior pela ordem inversa.

Como estamos a usar o número 257, o novo número será 752.

Subtraia o menor destes números do maior deles:

752 – 257 = 495

Com o resultado desta subtracção origine outro número, escrevendo os seus algarismos pela ordem inversa.

594

 

Adicione, este novo número, ao resultado da subtracção e… voilà 1089

 

594 + 495 = 1089

 

O resultado é SEMPRE 1089, qualquer que seja o número escolhido inicialmente!

 

Desvendando o truque

Parece magia que tal funcione, qualquer que seja o número inicial, mas a Matemática mostra-nos que não há nada de estranho envolvido.

Seja ABC o número inicial , em que A, B e C representam algarismos todos diferentes.

Como o algarismo das centenas é A, o algarismo das dezenas é B e o algarismo das unidades é C, o número ABC é igual a 100 A + 10 B + C.

Quando originamos o número formado pelos algarismos do número inicial, colocados por ordem inversa, obtemos o número CBA.

Neste número o algarismo das centenas é C, o algarismo das dezenas é B e o algarismo das unidades é A, portanto ele é igual a 100 C + 10 B + A.

Efectuando a diferença, supondo A > C, obtemos

100 (A – C) + ( C – A)

Como necessitamos de uma representação de um número com centenas, dezenas e unidades, vamos adicionar, a este número, 100 unidades e subtrair 1 centena

100 (A – C – 1) +100 + ( C – A)

Transformando as 100 unidades em 90 + 10, escrevendo 90 como 10 x 9, temos

100 (A – C– 1) + 10 x 9 +10 + ( C – A) =

100 (A – C– 1) + 10 x 9 + (10 + C – A)

Agora, que já temos uma representação de um número com centenas, dezenas e unidades, vamos originar um novo número, invertendo a ordem dos algarismos

100 (10 + C – A)  + 10 x 9 + (A – C– 1)

Adicionando este novo número ao que lhe deu origem, obtemos

100 (A – C– 1) + 10 x 9 + (10 + C – A)   +  100 (10 + C – A)  + 10 x 9 + (A – C– 1) =

100 ( A – A – C + C– 1 +10 ) + 20 x 9 + (10 + C – C – A + A – 1 )=

100 x 9 + 20 x 9 + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

 

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