14 Dezembro 2016      14:54

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COMPRAS DE NATAL - DESAFIO 8

Nível de dificuldade: 2

No dia 1 de Dezembro, a Maria foi fazer as suas compras de Natal. Para que o seu orçamento não fosse afectado pela febre consumista desta época, a Maria colocou na carteira a quantia exacta que tinha definido como limite para as suas compras, optando por não fazer pagamentos com cartão. Nesse dia, a Maria gastou tudo o que tinha na carteira em quatro lojas. Em cada uma das lojas gastou 10 euros a mais do que a metade do que tinha ao entrar.

Quanto tinha a Maria na carteira, antes de iniciar as compras?

Resolução:

Para chegar à solução deste problema são possíveis duas abordagens. Uma que recorre a equações matemáticas e outra, mais intuitiva, que recorre apenas a uma sequência de operações algébricas simples. Comecemos por esta última abordagem:

A técnica usada, nesta proposta de resolução, consiste em “percorrer” a sequência de compras da Maria, em sentido inverso.

Sabemos que ao sair da última loja (que designamos por Loja 4) a Maria já não tem dinheiro e que nessa loja gastou 10 euros a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Isto significa que 10€ correspondem a metade do que tinha à entrada. Portanto, à entrada da Loja 4, tinha 2x 10€ = 20 € (tendo gasto, nessa loja, metade desse valor 20€ : 2 = 10€ e mais 10€).

Nesta etapa do raciocínio, sabemos que à saída da penúltima loja (Loja3), ou seja, à entrada na última loja, a Maria tinha 20€, sendo esta quantia correspondente ao que lhe sobrou, depois de ter gasto metade do que tinha antes de entrar nessa loja e mais 10€. Então estes 20€ correspondem a menos 10€ que a metade da quantia que a Maria tinha quando entrou. Essa metade era portanto 20€+10€=30€, o que significa que ela tinha 60€ [ (20€ + 10€) x 2 ] antes de entrar nessa loja. Raciocinando da mesma forma, esses 60€ correspondem a menos 10€ do que metade do que ela tinha antes de entrar na antepenúltima loja (Loja2), ou seja, a Maria tinha 140€ [ (60€ + 10€) x 2]. Pensando da mesma forma, ao sair da primeira loja que visitou (Loja1), a Maria tinha 300€ [ (140€ + 10€) x 2 ].

Recorrendo a equações matemáticas:

Representemos por x, a quantia que a Maria tinha inicialmente. À saída da 1ª loja, a Maria tinha o que restou da quantia inicial depois de retirar metade dessa quantia e retirar 10 €, ou seja,   x - x/2 – 10 =  x/2 – 10 . À saída da 2ª loja tinha a quantia que restou à saída da loja anterior menos metade dessa quantia e menos 10 €,   x/2 – 10  - (x/2 – 10 )/2 -10= x/4 – 15 . À saída da 3ª loja tinha a quantia que restou à saída da loja anterior menos metade dessa quantia e menos 10 €,  x/4 – 15 – (x/4 – 15)/2 – 10 = x/8 – 35/2 . À saída da 4ª loja tinha a quantia que restou à saída da loja anterior menos metade dessa quantia e menos 10 €,

x/8 – 35/2 – (x/8 – 35/2)/2 – 10 = x/16 – 75/4

Como sabemos que ao sair da última loja, a Maria já não tinha dinheiro, basta igualar a zero esta última expressão e resolver essa equação:

x/16 – 75/4 = 0 ó x= 300

Antes de iniciar as compras, a Maria tinha 300€.

 

Adaptado de: Berloquin, P. (1991) 100 Jogos Numéricos. Colecção: Prazer da Matemática. Gradiva

Imagem de capa © newman/shutterstock
 

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